Question

已知關(guān)于x的方程x²+（2m-1）x+m-6=0有一個(gè)根不大于-1，另一個(gè)根不小于1．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求方程兩根平方和的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，只要解

f(-1)≤0 f(1)≤0

即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到設(shè)關(guān)于x的方程x²+（2m-1）x+m-6=0的兩根為x₁，x₂，
則

x1+x2=-(2m-1) x1•x2=m-6

，結(jié)合平方關(guān)系得到方程兩根平方和關(guān)于m的解析式，平方求最值．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=x²+（2m-1）x+m-6，則由關(guān)于x的方程x²+（2m-1）x+m-6=0有一個(gè)根不大于-1，另一個(gè)根不小于1．得

f(-1)≤0 f(1)≤0

，
解得：-4≤m≤2；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程x²+（2m-1）x+m-6=0的兩根為x₁，x₂，
則

x1+x2=-(2m-1) x1•x2=m-6

∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4m²-6m+13=4（m-

3

4

）²+

43

4

，
所以，當(dāng)m=

3

4

時(shí)．（x 12+x22）_min=

43

4

；
當(dāng)m=-4時(shí)．（x12+x22）_max=101．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的分布以及根與系數(shù)的關(guān)系的考查，屬于經(jīng)�？疾榈念}目．