Question

函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且滿足f（x•y）=f（x）+f（y），當x∈（0，1）時，f（x）＞0，且f(

1

2

)=1．
（1）求f（1）和f（4）的值．
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）用特殊值法求解，令x=y=1可得，f（1）=2f（1），解可得f（1）的值；再令x=2、y=

1

2

可得f（2）的值，進而令x=y=2可得f（4）的值；
（2）用作差法證明，根據(jù)題意，設0＜x₁＜x₂，則有0＜

x1

x2

＜1，將x₁表示為x₂×

x1

x2

，則可得f（x₁）=f（x₂×

x1

x2

）=f（x₂）+（

x1

x2

），計算并分析f（x₁）-f（x₂）可得f（x₁）＞f（x₂），即可得到證明．

解答： 解：（1）在f（x•y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=1可得，f（1）=2f（1），解可得f（1）=0，
令x=2、y=

1

2

可得，f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）=0，則f（2）=-1，
令x=y=2可得，f（4）=2f（2）=-2；
（2）根據(jù)題意，設0＜x₁＜x₂，則有0＜

x1

x2

＜1，
f（x₁）=f（x₂×

x1

x2

）=f（x₂）+f（

x1

x2

），
則f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題考查抽象函數(shù)的應用，涉及函數(shù)單調性的證明，如（1）的求值問題一般用賦值法．