Question

20．已知y=f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）+xf′（x）＜0恒成立．若a=（2^0.2）•f（2^0.2），b=（log₄3）•f（log₄3），$c=（{log_2}\frac{1}{4}）•f（{log_2}\frac{1}{4}）$，求a，b，c的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴此時(shí)函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
∵y=f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴y=g（x）為R上的偶函數(shù)，
即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
a=（2^0.2）•f（2^0.2）=g（2^0.2），b=（log₄3）•f（log₄3）=g（log₄3），$c=（{log_2}\frac{1}{4}）•f（{log_2}\frac{1}{4}）$=g（log₂$\frac{1}{4}$）=g（-2）=g（2），
∵1＜2^0.2＜2，0＜log₄3＜1，
∴0＜log₄3＜1＜2^0.2＜2，
即g（log₄3）＜g（2^0.2）＜g（2），
即b＜a＜c．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．