Question

15．設(shè)x+y+z=19，則函數(shù)u=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$+$\sqrt{{z}^{2}+16}$的最小值為$\sqrt{442}$．

Answer 1

分析 把u=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$+$\sqrt{{z}^{2}+16}$平方，然后利用柯西不等式放縮，結(jié)合已知求得最值．

解答 解：∵x+y+z=19，u=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$+$\sqrt{{z}^{2}+16}$，
∴${u}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+29+（2\sqrt{（{x}^{2}+4）（{y}^{2}+9）}+\sqrt{（{y}^{2}+9）（{z}^{2}+16）}+\sqrt{（{x}^{2}+4）（{z}^{2}+16）}）$
≥x²+y²+z²+29+2（xy+6+yz+12+xz+8）
=（x+y+z）²+81=361+81=442．
∴u$≥\sqrt{442}$（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}，\frac{y}{z}=\frac{3}{4}，\frac{z}{x}=2$時等號成立）．
故答案為：$\sqrt{442}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)最值的求法，訓(xùn)練了利用柯西不等式求最值，是中檔題．