Question

10．已知集合A={a|x²+2ax+4＞0，不等式對(duì)x∈R恒成立}，B={x|2＜（$\sqrt{2}$）^x+k＜4}
（1）若k=1，求A∪B；
（2）若A∩B=∅，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡集合A、B，求出k=1時(shí)集合B，計(jì)算A∪B；
（2）由A∩B=∅，列出不等式，求出解集即可．

解答 解：（1）∵集合A={a|x²+2ax+4＞0，不等式對(duì)x∈R恒成立}
={a|4a²-4×4＜0}
={a|-2＜a＜2}
=（-2，2），
B={x|2＜（$\sqrt{2}$）^x+k＜4}
={x|2＜${2}^{\frac{1}{2}（x+k）}$＜4}
={x|1＜$\frac{1}{2}$（x+k）＜2}
={x|2＜x+k＜4}
={x|2-k＜x＜4-k}，
當(dāng)k=1時(shí)，B={x|1＜x＜3}=（1，3），
∴A∪B=（-2，3）；
（2）∵A=（-2，2），B=（2-k，4-k），
當(dāng)A∩B=∅時(shí)，2-k≥2或4-k≤-2，
解得k≤0或k≥6，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．