Question

1．已知拋物線C：x²=2my（m＞0）的焦點為F，直線y=x-2與x軸的交點Q到F的距離為$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
（1）求m的值；
（2）設P為直線y=x-2上的動點，過P作拋物線C的切線，切點分別為A，B，求△ABP面積的最小值，以及取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用直線y=x-2與x軸的交點Q到F的距離為$\frac{\sqrt{17}}{2}$，可得4+$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{17}{4}$，結(jié)合m＞0，即可求m的值；
（2）設A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），P（x₀，y₀），求切線PA，切線PB的方程，可得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，設直線AB的方程是y=kx+b，代入x²=2y得x₀=k，y₀=-b，代入y₀=x₀-2得-b=k-1，由兩點間距離公式可求|AB|，由點到直線的距離公式可求點P到直線AB的距離d，由三角形面積公式及基本不等式即可得解．

解答 解：（1）拋物線C：x²=2my（m＞0）的焦點為F（0，$\frac{m}{2}$），
∵直線y=x-2與x軸的交點Q到F的距離為$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴4+$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{17}{4}$，
∵m＞0，
∴m=1；
（2）拋物線C：x²=2y，即y=$\frac{1}{2}$x²，∴y′=x，
設A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），P（x₀，y₀），
則切線PA的方程是y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），
即y+$\frac{1}{2}$x₁²=x₁x ①，同理切線PB的方程是y+$\frac{1}{2}$x₂²=x₂x  ②
由①②得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，顯然直線AB存在斜率．
設直線AB的方程是y=kx+b，代入x²=2y得x²-2kx-2b=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，即x₀=k，y₀=-b，③
代入y₀=x₀-2得-b=k-2
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8b}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{4{k}^{2}-8k+16}$
點P到直線AB的距離是d=$\frac{|{k}^{2}-2k+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
△PAB的面積=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$（{k}^{2}-2k+4）^{\frac{3}{2}}$≥3$\sqrt{3}$，
當k=1時△PAB的面積取得最小值3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，兩點間距離公式，點到直線距離公式，直線的方程等知識的應用，難度大．