Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n和為S_n，S₁=-$\frac{1}{4}$，a_n-4S_nS_n-1=0（n≥2）
（1）若b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，證明{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合n≥2時(shí)，a_n-4S_nS_n-1=0，可得S_n-S_n-1=4S_nS_n-1，兩邊同除S_nS_n-1可得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）可得S_n=$-\frac{1}{4n}$，結(jié)合S₁=-$\frac{1}{4}$，n≥2時(shí)，a_n-4S_nS_n-1=0，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 證明：（1）∵n≥2時(shí)，a_n-4S_nS_n-1=0，
∴S_n-S_n-1-4S_nS_n-1=0
∴S_n-S_n-1=4S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-4，
又∵S₁=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$=-4，
又∵b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}是以-4為首項(xiàng)，-4為公差的等差數(shù)列；
解：（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=-4n，
∴S_n=$-\frac{1}{4n}$；
∵n≥2時(shí)，a_n-4S_nS_n-1=0，
∴a_n=4S_nS_n-1=$\frac{1}{4n（n-1）}$，
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{4n（n-1）}$無意義，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}，n=1\\ \frac{1}{4n（n-1）}，n≥2\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和與通項(xiàng)，正確運(yùn)用數(shù)列遞推式是關(guān)鍵．