Question

5．如圖，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左焦點、左頂點分別為F，C，過原點O的直線與兩分支分別交于A，B（異于C點），若直線AF交BC于D點，且$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DF}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)A（m，n），B（-m，-n），由題意可得F（-c，0），C（-a，0），運用向量共線的坐標(biāo)表示和三點共線的條件：斜率相等，計算結(jié)合離心率公式即可得到所求值．

解答 解：設(shè)A（m，n），B（-m，-n），
由題意可得F（-c，0），C（-a，0），
由$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DF}$，可得
x_D=$\frac{m-2c}{1+2}$=$\frac{m-2c}{3}$，y_D=$\frac{n}{1+2}$=$\frac{n}{3}$，
即有D（$\frac{m-2c}{3}$，$\frac{n}{3}$），
由B，C，D共線，可得
k_BC=k_CD，即為$\frac{n}{m-a}$=$\frac{n}{m-2c+3a}$，
即有m-a=m-2c+3a，
即為c=2a，e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及三點共線的條件：斜率相等，考查運算能力，屬于中檔題．