Question

17．以雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（b＞0）的右焦點F₂為圓心，2為半徑的圓與雙曲線的漸近線相交，則雙曲線的離心率的范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，c，和漸近線方程，運用直線和圓相交的條件：d＜r，解得0＜b＜2，由離心率公式可得所求范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（b＞0）的a=2，c=$\sqrt{4+^{2}}$，
漸近線方程為y=±$\frac{2}$x，
由右焦點F₂為圓心，2為半徑的圓與雙曲線的漸近線相交，
可得$\frac{|b\sqrt{4+^{2}}|}{\sqrt{4+^{2}}}$＜2，可得b＜2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4+^{2}}}{2}$＜$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
又e＞1，可得離心率的范圍是（1，$\sqrt{2}$）．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用漸近線方程以及直線和圓相交的條件：d＜r，考查化簡運算能力，屬于中檔題．