Question

已知A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，向量

a

=（2cos

A-B

2

，3sin

A+B

2

），且|

a

|=

26

2

，則tanC的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用向量模的計(jì)算公式、兩角和差的余弦公式與正切公式、倍角公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵向量

a

=（2cos

A-B

2

，3sin

A+B

2

），且|

a

|=

26

2

，
∴

4cos2 A-B 2 +9sin2 A+B 2

=

26

2

，
化為4cos（A-B）=9cos（A+B），
展開為4（cosAcosB+sinAsinB）=9（cosAcosB-sinAsinB），
化為4+4tanAtanB=9-9tanAtanB．
∴tanAtanB=

5

13

．（tanA，tanB＞0）．
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

≤-

2 tanAatnB

1-tanAtanB

=-

65

4

．當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=

65

13

．
故答案為：-

65

4

．

點(diǎn)評：本題考查了向量模的計(jì)算公式、兩角和差的余弦公式與正切公式、倍角公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．