Question

已知f（x）=-x²+ax-

a

4

+

1

2

，x∈[0，1]，
（1）求f （x）的最大值g（a）；
（2）求g（a）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先對二次函數(shù)f（x）配方得：f（x）=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

，所以f（x）的對稱軸是x=

a

2

，所以討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系，根據(jù)f（x）在[0，1]上單調(diào)性及函數(shù)f（x）頂點即可得到f（x）的最大值g（a）=

-a+2 4 a≤0 a2-a+2 4 0＜a＜2 3a-2 4 a≥2

；
（2）由（1）知g（a）是關(guān)于a的分段函數(shù)，所以根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)的最小值求出g（a）在每段上的最小值，然后最后取最小的便是g（a）的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

；
∴①若

a

2

≤0，即a≤0時，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減；
∴g（a）=f（0）=

-a+2

4

；
②若0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2，則：g（a）=f（

a

2

）=

a2-a+2

4

；
③若

a

2

≥1，即a≥2時，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
∴g（a）=f（1）=

3a-2

4

；
∴g(a)=

-a+2 4 a≤0 a2-a+2 4 0＜a＜2 3a-2 4 a≥2

；
（2）a≤0時，

-a+2

4

在a=0時取最小值

1

2

；
0＜a＜2時，

a2-a+2

4

=

(a- 1 2 )2+ 7 4

4

在a

1

2

時取最小值

7

16

；
a≥2時，

3a-2

4

在a=2時取最小值1；
綜上得g（a）的最小值為

7

16

．

點評：考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，以及求分段函數(shù)最值的方法：在每段上求最值，然后進行比較而得出分段函數(shù)的最值，以及根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求最小值．