Question

今年年初，我國多個地區(qū)發(fā)生了持續(xù)性大規(guī)模的霧霾天氣，給我們的身體健康產(chǎn)生了巨大的威脅．私家車的尾氣排放也是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力．為此，很多城市實施了機動車車尾號限行，我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機抽查了50人，將調(diào)查情況進行整理后制成下表：

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
頻數(shù)	5	10	15	10	5	5
贊成人數(shù)	4	6	9	6	3	4

（Ⅰ）完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖；

（Ⅱ）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進行進行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由已知條件能求出圖中各組的縱坐標(biāo)，由此能完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，分別求出p（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）各組的頻率分別是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1．…（2分）
所以圖中各組的縱坐標(biāo)分別是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．…（4分）
∴被調(diào)查人員的頻率分布直方圖如右圖：…（5分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3…（6分）
p（ξ=0）=

C 2 4

C 2 5

•

C 2 6

C 2 10

=

15

75

，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 6

C 2 5 C 2 10

+

C 2 4

C 2 5

•

C 1 4 C 1 6

C 2 10

=

34

75

，
P（ξ=2）=

C 1 4

C 2 5

•

C 1 4 C 1 6

C 2 10

+

C 2 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

22

75

，
P（ξ=3）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

4

75

，…（10分）
∴ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	15 75	34 75	22 75	4 75

…（11分）
∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

15

75

+1×

34

75

+2×

22

75

+3×

4

75

=

6

5

．…（12分）

點評：本題考查頻率直方圖的作法，考查隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合思想的合理運用．