Question

16．已知△ABC的外心為O，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則cos∠BAC的值是$±\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用向量的運(yùn)算得出4|$\overrightarrow{OA}$|²=9|$\overrightarrow{OB}$|²+16|$\overrightarrow{OC}$|²+24$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$，再利用外接圓得出4R²=25R²+24R²cos∠BOC，cos∠BOC=-$\frac{7}{8}$，
最后利用圓的幾何性質(zhì)，二倍角公式求解即可．

解答 解：∵△ABC的外心為O，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，半徑為R
∴-2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$，
平方得出：4|$\overrightarrow{OA}$|²=9|$\overrightarrow{OB}$|²+16|$\overrightarrow{OC}$|²+24$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$
∴4R²=25R²+24R²cos∠BOC
cos∠BOC=-$\frac{7}{8}$，
∵根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得出：∠BOC=2∠BAC，
-$\frac{7}{8}$=2cos²∠BAC-1，
∴cos∠BAC=$±\frac{1}{4}$
故答案為：$±\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查三角形外心的應(yīng)用、向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題