Question

14．已知函數(shù)f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=-2ax+a+1．
（1）當a=-1時，記h（x）=f（x）+g（x）．
①求證：h（x）為奇函數(shù)；
②直接寫出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)h（x）的零點個數(shù)（不必證明）；
（2）若關于x的方程f（x）=log₃g（x）有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，$\frac{x-1}{x+1}$＞0，x＞1或x＜-1，利用奇函數(shù)定義判斷，
②根據(jù)圖象判斷書寫即可
（2）轉(zhuǎn)化為$\frac{x-1}{x+1}$=-2ax+a+1．x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）得出a=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，運用圖象判斷即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=-2ax+a+1．
（1）①當a=-1時，記h（x）=f（x）+g（x）．
h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，$\frac{x-1}{x+1}$＞0，x＞1或x＜-1，
h（-x）=log₃$\frac{-x-1}{-x+1}$-2x=-log₃$\frac{x-1}{x+1}$-2x=-h（x），
∴h（x）為奇函數(shù)；
②y=$\frac{x-1}{x+1}$=$1-\frac{2}{x+1}$在（1，+∞）與（-∞，-1）上單調(diào)遞增，
y=2x是增函數(shù)，
h（x）的定義域為：（-∞，-1）∪（1，+∞）
h（x）有2個零點，
h（x）在（1，+∞）與（-∞，-1）上單調(diào)遞增，


（2）關于x的方程f（x）=log₃g（x）有兩個不等實數(shù)根，
log₃$\frac{x-1}{x+1}$=log₃g（x），
即$\frac{x-1}{x+1}$=-2ax+a+1．x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
$\frac{-2}{x+1}$=a（-2x+1），
a=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，
y=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，
x=-$-\frac{1}{4}$時，y=$-\frac{16}{9}$，
運用圖象可判斷出y=a，與y=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，有2個交點，
實數(shù)a的取值范圍：a＞0或a$＜-\frac{16}{9}$

點評 本題綜合考察導數(shù)，在解決函數(shù)不等式，函數(shù)的零點的運用，綜合性較強，難度較大，需要構(gòu)造函數(shù)多次判斷．