Question

定義：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），滿足f′（x₁）=

f(b)-f(a)

b-a

，f′（x₂）=

f(b)-f(a)

b-a

，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個雙中值函數(shù)，已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+a是區(qū)間[0，a]上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  3

  2

  ）
• B、（

  3

  2

  ，3）
• C、（

  1

  2

  ，3）
• D、（1，3）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：新定義

分析：根據題目給出的定義可得f′（x₁）=f′（x₂）=

f(a)-f(0)

a

=

1 3 a3-a2

a

=

1

3

a2-a，即方程x2-2x=

1

3

a2-a在區(qū)間（0，a）有兩個解，利用二次函數(shù)的性質可知實數(shù)a的取值范圍是(

3

2

，3)．

解答： 解：由題意可知，
在區(qū)間[0，a]存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），
滿足f′（x₁）=f′（x₂）=

f(a)-f(0)

a

=

1 3 a3-a2

a

=

1

3

a2-a，
∵f（x）=

1

3

x³-x²+a，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程x2-2x=

1

3

a2-a在區(qū)間（0，a）有兩個解．
令g(x)=x2-2x-

1

3

a2+a，（0＜x＜a）
則

△=4+ 4 3 a2-4a＞0 g(0)=- 1 3 a2+a＞0 g(a)= 2 3 a2-a＞0 a＞0

，
解得，

3

2

＜a＜3．
∴實數(shù)a的取值范圍是(

3

2

，3)．
故選：B．

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，二次函數(shù)的性質與方程根的關系，屬于中檔題．