【題目】已知函數(shù)的定義域是.

（1）判斷在上的單調性，并證明；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：首先要注意到大家熟知的常用的函數(shù)，第一定義域為R，第二這個函數(shù)是奇函數(shù)，第三它是單增函數(shù)，熟悉這3條，本題的第一步就只需按定義去證明了，有了函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的單調性與奇偶性解不等式，利用極值原理求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）因為函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)定義域內的每一個，都有

所以，函數(shù)是奇函數(shù).

設是上任意兩個實數(shù)，且，則

.

由，得， 即.

于是，

即.

所以函數(shù)在上是増函數(shù)，且

易證函數(shù)在上是増函數(shù)，且.

∵

∴函數(shù)在上是増函數(shù).

（2） 等價于，即

原條件等價于對任意恒成立，

只需要.

令，設函數(shù).

由函數(shù)的單調性可知.

∴

∴實數(shù)的取值范圍.

練習冊系列答案
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