Question

4．已知二次函數(shù)滿足f（x）=ax²+bx+c（a≠0），滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，
（1）函數(shù)f（x）的解析式：
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值：
（3）若當x∈R時，不等式f（x）＞3x-a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)函數(shù)f（x）的解析式，利用待定系數(shù)法求解．
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值：
（3）分離參數(shù)法，將不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題求解．

解答 解：（1）由題意：f（x）為二次函數(shù)，設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，
∴c=1．
則f（x）=ax²+bx+1
又∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-ax²-bx-1=2ax+a+b，即2ax+a+b=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-1．
所以函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=x²-x+1．
（2）由（1）知$f（x）={x^2}-x+1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：開口向上，對稱軸x=$\frac{1}{2}$，
∴當$x=\frac{1}{2}$時，f（x）有最小值$\frac{3}{4}$，
當x=-1時，f（x）有最大值3；
（3）對于任意x，不等式f（x）＞3x-a恒成立，即x²-x+1＞3x-a，
將可化為：a＞3x-x²+x-1，即a＞-x²+4x-1恒成立，
設(shè)g（x）=-x²+4x-1，x∈R，可知g（x）的最大值為3，
所以：a＞3．
故得實數(shù)a的取值范圍是（3，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的解析式求法和最值的討論以及參數(shù)的問題．屬于中檔題．