Question

設(shè)α、β是方程x²+13x+1=0的兩根，則（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）=

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解法一：根據(jù)α、β是方程x²+13x+1=0的兩根，由韋達(dá)定理可得：α+β=-13，α•β=1，將（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）展開代入整理可得答案．
解法二：根據(jù)α、β是方程x²+13x+1=0的兩根，α²+13α+1=0，β²+13β+1=0，αβ=1，整體代入后可得（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）的值．

解答： 解法一：∵α、β是方程x²+13x+1=0的兩根，
∴α+β=-13，αβ=1，
故（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）
=（αβ）²+2013α²β+α²+2013²αβ²+2013αβ+2013α+β²+2013β+1
=1+2013α+α²+2013β+2013²+2013α+β²+2013β+1
=2013²+2+4026（α+β）+α²+β²
=2013²+4026（α+β）+（α+β）²-2（αβ）
=2013²-4026×13+13²
=4000000，
解法二：∵α、β是方程x²+13x+1=0的兩根，
∴α²+13α+1=0，β²+13β+1=0，αβ=1，
故（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）=2000²（αβ）=4000000，
故答案為：4000000

點評：本題考查的知識點是二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），其中方法二的整體代入思想運算簡便，建議采用．