Question

若x、y∈R⁺且x+3y=1，則Z=

x+1

+

3y+2

的最大值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由已知x、y∈R⁺且x+3y=1，可將

3y+2

化為

3-x

，進(jìn)而結(jié)合

x+1

2+

3-x

2=4，可設(shè)

x+1

=2sinα，

3-x

=2cosα，（0≤α≤

π

2

），根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到函數(shù)的最值．

解答： 解：∵x、y∈R⁺且x+3y=1，
故3y=1-x，
3y+2=3-x，
則Z=

x+1

+

3y+2

=

x+1

+

3-x

，
∵

x+1

2+

3-x

2=4，
∴設(shè)

x+1

=2sinα，

3-x

=2cosα，（0≤α≤

π

2

），
則Z=

x+1

+

3y+2

=2sinα+2cosα=2

2

sin（α+

π

4

），
故當(dāng)α+

π

4

=

π

2

時，Z取最大值2

2

，
故答案為：2

2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，其中利用三角換元法，將Z化為2sinα+2cosα=2

2

sin（α+

π

4

），是解答的關(guān)鍵．