Question

2．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)），當(dāng)t=1時，曲線C₁上的點為A，當(dāng)t=-1時，曲線C₁上的點為B．以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{6}{\sqrt{4+5sin^2θ}}$．
（1）求A、B的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)M是曲線C₂上的動點，求|MA|²+|MB|²的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)．
（2）由ρ=$\frac{6}{\sqrt{4+5sin2θ}}$，得ρ²（4+5sin²θ）=36，即可得出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．設(shè)曲線C₂上的動點M的坐標(biāo)為M （3cosα，2sinα），則|MA|²+|MB|²=10 cos²α+16，即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)t=1時，$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\sqrt{3}\end{array}$，即A的直角坐標(biāo)為A（-1，$\sqrt{3}$）；
當(dāng)t=-1時，$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-\sqrt{3}\end{array}$，即B的直角坐標(biāo)為B（1，-$\sqrt{3}$）．
∴A的極坐標(biāo)為A$（2，\frac{2π}{3}）$，B的極坐標(biāo)為B$（2，\frac{5π}{3}）$．
（2）由ρ=$\frac{6}{\sqrt{4+5sin2θ}}$，得ρ²（4+5sin²θ）=36，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
設(shè)曲線C₂上的動點M的坐標(biāo)為M （3cosα，2sinα），
則|MA|²+|MB|²=10 cos²α+16≤26，
∴|MA|²+|MB|²的最大值為26．

點評 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．