Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R（ω＞0），在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$．
（1）求ω；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到導(dǎo)函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，結(jié)合題意可解ω=1；
（2）由函數(shù)圖象的變換可得g（x）=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)易得最大值和單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R（ω＞0），
在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$，
可得2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=1．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后，可得函數(shù)y=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{3}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$ 的圖象；
再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)y=g（x）=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$ 的圖象．
∴函數(shù)g（x）的最大值為1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得4kπ+$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{10π}{3}$，
∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞減區(qū)間為：[4kπ+$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{10π}{3}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)公式以及圖象的變換，屬中檔題．