Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²+b|x-1|，其中a，b∈（-4，4）且a≠0
（Ⅰ）當a∈（0，4），b=1時，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值；
（Ⅱ）若存在實數(shù)c，使函數(shù)g（x）=f（x）-c有四個不同的零點，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用零點分段法，將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值；
（Ⅱ）要使g（x）有四個不同的零點，則y=ax²+bx-b和y=ax²-bx+b必須分別在[1，+∞）和（-∞，1）上不單調(diào)，進而可得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a{x^2}+x-1（x≥1）}\\{a{x^2}-x+1（x＜1）}\end{array}}\right.$
當$\frac{1}{2a}∈（{0，1}）$，即$\frac{1}{2}＜a＜4$時，f（x）在$[{0，\frac{1}{2a}}]$上遞減，在$[{\frac{1}{2a}，2}]$上遞增
所以$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2a}）=1-\frac{1}{4a}$
當$\frac{1}{2a}∈[{1，+∞}）$，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時，f（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增
所以f（x）_min=f（1）=a
綜上可知，$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{4a}（\frac{1}{2}＜a＜4）}\\{a（0＜a≤\frac{1}{2}）}\end{array}}\right.$…（7分）
（Ⅱ）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a{x^2}+bx-b（x≥1）}\\{a{x^2}-bx+b（x＜1）}\end{array}}\right.$
要使g（x）有四個不同的零點，則y=ax²+bx-b和y=ax²-bx+b必須分別在[1，+∞）和（-∞，1）上不單調(diào)
所以$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{2a}＞1}\\{\frac{2a}＜1}\end{array}}\right.⇒\frac{2a}＜-1$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜4}\\{-4＜b＜-2a}\end{array}}\right.$和$\left\{{\begin{array}{l}{-4＜a＜0}\\{-2a＜b＜4}\end{array}}\right.$
由線性規(guī)劃知識可求得a+b∈（-4，0）∪（0，4）…（15分）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，線性規(guī)劃，函數(shù)零點，難度中檔．