Question

13．某班排演入場式陣型，設計為菱形．若菱形ABCD的點A到兩條平行邊線l₁、l₂的距離分別為4m、8m，邊線l₁與菱形陣區(qū)的最近點D的距離為1m，l₂與該菱形陣區(qū)的最近點B的距離為2m．

（1）如圖甲，菱形陣區(qū)在點A的右側，若∠BAD=60°，請據(jù)此算出菱形陣區(qū)的面積；
（2）如圖乙，菱形陣區(qū)在點A的兩側，試確定∠BAD的余弦，使菱形陣區(qū)的面積最小，并求出最小面積．

Answer 1

分析 （1）設AD與l₁所成夾角為α，則AB與l₂所成夾角為60°-α，由菱形ABCD的邊長相等結合正弦定理求出tanα=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，由此能求出菱形陣區(qū)的面積．
（2）設AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ，θ∈（120°，180°），則AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），由菱形ABCD的邊長相等結合正弦定理得tanα=$\frac{sinθ}{2+cosθ}$，從而得到菱形陣區(qū)的面積S=9（$\frac{5+4cosθ}{sinθ}$），再利用導數(shù)性質能求出菱形陣區(qū)的最小面積．

解答 解：（1）如圖甲，設AD與l₁所成夾角為α，則AB與l₂所成夾角為60°-α，
由菱形ABCD的邊長相等得$\frac{3}{sinα}=\frac{6}{sin（60°-α）}$，解得tanα=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
所以，菱形陣區(qū)的面積S=$（\frac{3}{sinα}）^{2}•sin60°$=$9（1+\frac{1}{ta{n}^{2}α}）•sin60°$=$42\sqrt{3}$（m²）．（6分）
（2）如圖乙，設AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ，θ∈（120°，180°），則AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），
由菱形ABCD的邊長相等得$\frac{3}{sinα}=\frac{6}{sin（180°-θ+α）}$，解得tanα=$\frac{sinθ}{2+cosθ}$，
所以，菱形陣區(qū)的面積S=$（\frac{3}{sinα}）^{2}•sinθ$=9（1+$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$）•sinα=9（$\frac{5+4cosθ}{sinθ}$），
由S′=9（$\frac{5+4cosθ}{sinθ}$）′=-9（$\frac{5cosθ+4}{si{n}^{2}θ}$）=0，得cosθ=-$\frac{4}{5}$，（12分）
經檢驗得，當$cosθ=-\frac{4}{5}$時，菱形陣區(qū)的面積${S}_{min}=27（{m}^{2}）$，
∴菱形陣區(qū)的最小面積為27m²．（13分）

點評 本題考查菱形陣區(qū)的面積的求法，考查∠BAD的余弦的確定，使菱形陣區(qū)的面積最小，并求出最小面積，是中檔題，解題時要注意正弦定理和導數(shù)性質的合理運用．