Question

12．已知頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O的拋物線C₁與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）都過點(diǎn)M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），且它們有共同的一個(gè)焦點(diǎn)F．則雙曲線C₂的離心率是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入，可求拋物線方程，再利用雙曲線的定義可求雙曲線的a，再由離心率公式可得e．

解答 解：設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
將M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入y²=2px，得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x，焦點(diǎn)為F（1，0），
由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），∴c=1，
對(duì)于雙曲線，2a=|MF₁|-|MF₂|=$\sqrt{（\frac{2}{3}+1）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$-$\sqrt{（\frac{2}{3}-1）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{7}{3}$-$\frac{5}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=3．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用待定系數(shù)法求拋物線、雙曲線方程，注意挖掘題目隱含，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化．