Question

4．某中學(xué)校本課程開設(shè)了A，B，C，D共4門選修課，每個(gè)學(xué)生必須且只能選修1門選修課，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙3名學(xué)生．
（Ⅰ）求在D課程沒有被選中的條件下，A課程被甲選中的概率；
（Ⅱ）記“這3名學(xué)生選擇A課程的人數(shù)”為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用條件概率的概念求出n（E）=3×3×3=27，n（EF）=3×3=9，繼而得出結(jié)論．
（2）兩種方法處理此題，一種是常規(guī)的方法，一種是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)利用二項(xiàng)分布解題．

解答 解：（1）設(shè)“D課程沒有被選中”為事件E，“甲選擇了A課程”為事件F，
則n（E）=3×3×3=27，n（EF）=3×3=9，則P（E|F）=$\frac{n（EF）}{n（F）}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$，
（2）解法一：X的所有可能取值為0，1，2，3，且
P（X=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{27}{64}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{3}^{2}}{{4}^{3}}=\frac{27}{64}$，
P（X=2）$\frac{{C}_{3}^{2}}{{4}^{3}}=\frac{9}{64}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{1}{64}$
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以X的數(shù)學(xué)期望EX=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{3}{4}$
解法二：因?yàn)锳選修課被每位同學(xué)選中的概率均為$\frac{1}{4}$，沒被選中的概率均為$\frac{3}{4}$，
所以X的所有可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{4}$）
P（X=0）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{4}×（\frac{3}{4}）^{2}=\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}×\frac{3}{4}=\frac{9}{64}$，P（X=3）=（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以X的數(shù)學(xué)期望EX=3×$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了條件概率的求解方法和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的思路，屬�？碱}型．