Question

已知f（x）=[（a-1）x-2]．
（1）若a＞1，求f（x）的定義域；
（2）若0＜a＜1，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；
（3）若f（x）＞0在[1，]上恒成立，求a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用真數(shù)大于0，可得（a-1）x-2＞0，根據(jù)a＞1，得，從而可得f（x）的定義域；
（2）先求函數(shù)的f（x）的定義域是，再利用單調(diào)性的定義，設(shè)，則，從而可得f（x₁）-f（x₂）＞0，所以該函數(shù)在上是減函數(shù)；
（3）分類討論：①若a＞1，則，即在[1，]上恒有0＜（a-1）x-2＜1；②若0＜a＜1，則，即在[1，]上恒有（a-1）x-2＞1，從而可求a 的取值范圍．
解答：（1）解：由a＞1，a-1＞0，解（a-1）x-2＞0得
∴f（x）的定義域是；
（2）證明：∵0＜a＜1，a-1＜0，解（a-1）x-2＞0得
∴f（x）的定義域是
設(shè)，則
∵a-1＜0，
∴（a-1）x₁-2＞（a-1）x₂-2＞0
∴
∵
∴
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴該函數(shù)在上是減函數(shù)；
（3）解：①若a＞1，則，即在[1，]上恒有0＜（a-1）x-2＜1
∵a-1＞0，∴（a-1）x-2為單調(diào)增函數(shù)，只要，∴
②若0＜a＜1，則，即在[1，]上恒有（a-1）x-2＞1
∵a-1＜0，∴（a-1）x-2為單調(diào)減函數(shù)，只要（a-1）×-2＞1，∴
∵0＜a＜1，∴a∈∅
綜上，a 的取值范圍為
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，同時(shí)考查恒成立問題，解題時(shí)應(yīng)注意底數(shù)的討論．