Question

14．（1）用二項(xiàng)式定理證明：3²ⁿ-8n-1能被64整除（n∈N^*）；
（2）求2³⁰-3除以7的余數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把3²ⁿ-8n-1=9ⁿ-8n-1利用二項(xiàng)式定理化為 C${\;}_{n}^{0}$8ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$8^n-1+C${\;}_{n}^{2}$8^n-2+…+C${\;}_{n}^{n-2}$8²，再根據(jù)每一項(xiàng)都是64的倍數(shù)，證得結(jié)論．
（2）把2³⁰-3利用二項(xiàng)式定理化為7[C${\;}_{10}^{0}$7⁹+C${\;}_{10}^{1}$7⁸+…+C${\;}_{10}^{9}$]-2，可得2³⁰-3除以7的余數(shù)．

解答 （1）證明：3²ⁿ-8n-1=9ⁿ-8n-1=（8+1）ⁿ-8n-1=（C${\;}_{n}^{0}$8ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$8^n-1+C${\;}_{n}^{2}$8^n-2+…+C${\;}_{n}^{n-2}$8²+C${\;}_{n}^{n-1}$8+C${\;}_{n}^{n}$）-8n-1=C${\;}_{n}^{0}$8ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$8^n-1+C${\;}_{n}^{2}$8^n-2+…+C${\;}_{n}^{n-2}$8²，
由于每一項(xiàng)都是64的倍數(shù)，
∴3²ⁿ-8n-1能被64整除．
（2）解：2³⁰-3=（2³）¹⁰-3=8¹⁰-3=（7+1）¹⁰-3=C${\;}_{10}^{0}$7¹⁰+C${\;}_{10}^{1}$7⁹+…+C${\;}_{10}^{9}$7+C${\;}_{10}^{10}$-3=7[C${\;}_{10}^{0}$7⁹+C${\;}_{10}^{1}$7⁸+…+C${\;}_{10}^{9}$]-2．
∴2³⁰-3除以7的余數(shù)為-2，即2³⁰-3除以7的余數(shù)為 5．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，整除的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．