Question

18．函數(shù)f（x）=cos²x+sinx在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的最小值是$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 化余弦為正弦，然后令sinx=t換元，利用x的范圍求得t的范圍，配方后求得函數(shù)最小值．

解答 解：f（x）=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1．
令sinx=t，
∵x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，∴t=sinx∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
則y=$-{t}^{2}+t+1=-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}$，t∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
當(dāng)t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，${y}_{min}=-（-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)最值的求法，考查了利用換元法求二次函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．