Question

9．已知函數(shù)y=f（x）定義在R上，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，對任意m，n∈R，f（m+n）=f（m）f（n） 
（1）證明：f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）若f（2）=9，解方程[f（x）]²+$\frac{1}{9}$f（x+3）-1=f（1）．

Answer 1

分析 （1）先證明f（x）＞0，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可
（2）利用賦值法求出f（3）=9，f（0）=1，f（1）=3，將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次方程的解法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）證明：f（x）在R上單調(diào)遞增；
∵對任意m，n∈R，f（m+n）=f（m）f（n）
∴$f（x）={f^2}（\frac{x}{2}）≥0$，假設(shè)存在t，使f（t）=0，則f（x）=f（x-t+t）=f（x-t）f（t）=0，與題設(shè)矛盾，所以f（x）＞0．
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＞1，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₁）（f（x₂-x₁）-1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）若f（2）=9，則f（1+1）=f（1）f（1）=9，則f（1）=3，
令m=n=0，則f（0）=f²（0），
∵f（x）＞0，∴f（0）=1，
則f（3）=f（1+2）=f（1）f（2）=3×9=27．
則方程[f（x）]²+$\frac{1}{9}$f（x+3）-1=f（1）．
等價為方程[f（x）]²+$\frac{1}{9}$f（x）f（3）-1=3．
即[f（x）]²+$\frac{1}{9}$×27f（x）-4=0，
即[f（x）]²+3f（x）-4=0，
解得f（x）=1或f（x）=-4（舍），
∵f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（0）=1，
∴x=0，即方程的解為x=0．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查賦值法的運用，考查學(xué)生的推理能力，屬于難題．