Question

19．設(shè)S={x|x=m+n$\sqrt{2}$，m，n∈Z}
（1）若a∈Z，則是否a∈S？
（2）對S中的任意兩個元素x₁，x₂，是否都有x₁+x₂∈S，x₁•x₂∈S成立？

Answer 1

分析 （1）因為a 是集合S中的元素，故a=a+0×$\sqrt{2}$∈S．
（2）不妨設(shè)x₁=a₁+b₁$\sqrt{2}$，x₂=a₂+b₂$\sqrt{2}$，（a₁，b₁，a₂，b₂∈Z），從而可得x₁+x₂=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{2}$∈S，x₁x₂=（a₁a₂+2b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{2}$∈S．

解答 解：（1）因為a 是集合S中的元素，
故a=a+0×$\sqrt{2}$∈S
（2）∵x₁∈S，x₂∈S，
∴不妨設(shè)x₁=a₁+b₁$\sqrt{2}$，x₂=a₂+b₂$\sqrt{2}$，（a₁，b₁，a₂，b₂∈Z），
∴x₁+x₂=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{2}$，
又∵a₁+a₂，b₁+b₂∈Z，
∴x₁+x₂∈S，
同理可證明：x₁x₂=（a₁a₂+5b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{2}$∈S

點評 本題考查了元素與集合的關(guān)系的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題