10.在△ABC中,a2+b2=c2+ab,且cosAcosB=$\frac{1}{4}$,試判斷△ABC的形狀.

分析 由a2+b2=c2+ab,用余弦定理可求出C角,由已知及三角形內(nèi)角和定理,兩角和與差的余弦函數(shù)公式可求cos(A-B)=1,結(jié)合范圍-π<A-B<π,從而解得A=B=60°=C,即可判斷三角形的形狀.

解答 解:在△ABC中,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC.
∵a2+b2=c2+ab,
∴ab-2abcosC=0.
∴cosC=$\frac{1}{2}$,
∴結(jié)合C為三角形內(nèi)角,可得:C=60°,
∵cosAcosB=$\frac{1}{4}$,
∵cos(A+B)=cos(180°-C)=cos120°=-$\frac{1}{2}$,
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=$\frac{1}{4}$-sinAsinB=-$\frac{1}{2}$,
∴sinAsinB=$\frac{3}{4}$.
∴cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=1.
∵-π<A-B<π,
∴A-B=0.
∴A=B=60°=C,
故:△ABC為等邊三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理,三角形內(nèi)角和定理,兩角和與差的余弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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