Question

20．定義：如果函數y=f（x）在定義域內給定區(qū)間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），滿足f（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，x₀是它的一個均值點，例如y=|x|是[-2，2]上的平均值函數，0就是它的均值點，若函數f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函數”，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，1]
• B． （0，2）
• C． [-2，2]
• D． （0，1）

Answer 1

分析 由已知得關于x的方程x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）內有實數根．從而x²-mx+m-1=0，進而x=m-1為均值點，由此能求出實數m的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=-x²+mx-1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數，
∴關于x的方程x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）內有實數根．
由x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$，得x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必為均值點，即-1＜m-1＜1，∴0＜m＜2．
∴所求實數m的取值范圍是0＜m＜2．
故選：B．

點評 本題考查實數取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意“平均值函數”的性質的合理運用．