Question

12．如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，點D，E分別在邊AB，AC上，且$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}$=5$\overrightarrow{AE}$，
（1）若$\overrightarrow{BF}$=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$，求證：點F為DE的中點；
（2）在（1）的條件下，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}$表示出$\overrightarrow{AF}$，即可得出結論；
（2）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{EF}$，再計算$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{EF}$．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BF}$=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}$=5$\overrightarrow{AE}$，∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
∴F為DE的中點．
（2）由（1）可得$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ED}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$），
∵$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}$=5$\overrightarrow{AE}$，∴$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$．
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{EF}$=-$\overrightarrow{AB}$•（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=-$\frac{1}{4}$×4+$\frac{1}{10}$×2×6×cos60°=-$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，平面向量的數量積運算，屬于中檔題．