Question

已知x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的兩個實(shí)數(shù)根，使得（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80成立．求實(shí)數(shù)a的所有可能值．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：方程思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，得出△≥0①，x₁+x₂=1-3a②，x₁x₂=2a²-1③；代入（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，求出a的值．

解答： 解：∵x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴△=（3a-1）²-4（2a²-1）≥0①，
x₁+x₂=1-3a②，
x₁x₂=2a²-1③；
∴（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=3x12+3x22-10x₁x₂
=3(x1+x2)2-16x₁x₂
=3（1-3a）²-16•（2a²-1）=-80，
∴5a²+18a-99=0；
解得a=-

33

5

，a=3；
由①得，a≥5，或a≤1；
∴實(shí)數(shù)a的所有可能值a=-

33

5

．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了判別式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．