Question

11．已知直線x+ay-1=0與圓C：（x+a）²+（y-1）²=1相交于A、B兩點(diǎn)，且△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a=$±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出圓心C（-a，1）到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，且圓半徑r=1，由△ABC為等腰直角三角形，得d²+d²=r²，由此能求出a的值．

解答 解：∵直線x+ay-1=0與圓C：（x+a）²+（y-1）²=1相交于A、B兩點(diǎn)，
∴圓心C（-a，1）到直線l的距離d=$\frac{|-a+a-1|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，且圓半徑r=1，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴d²+d²=r²，即$\frac{2}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=1，
解得a=$±\sqrt{3}$．
故答案為：$±\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查圓、直線方程、點(diǎn)到直線距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．