Question

16．在斜三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{tanC}$，則$\frac{ab}{{c}^{2}}$的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{tanC}$可得，$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，通分化簡，根據正弦定理及余弦定理在化簡，利用基本不等式的性質求解．

解答 解：由$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{tanC}$可得，$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
即$\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinAsinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
∴$\frac{sin（B+A）}{sinAsinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，即$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
∴sin²C=sinAsinBcosC．
根據正弦定理及余弦定理可得，c²=ab•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理得a²+b²=3c²，
∴$\frac{ab}{{c}^{2}}$=$\frac{3ab}{{a}^{2}+^{2}}$≤$\frac{3ab}{2ab}$=$\frac{3}{2}$，當且僅當a=b時等號成立．
故答案為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了正余弦定理、基本不等式的性質的靈活運用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．