Question

20．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，向量$\overrightarrow{x}$=（1，b_n），$\overrightarrow{y}$=（a_n-1，S_n），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
（1）若b_n=2，求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{n}{2}$，a₂=0．證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得S_n=b_n（a_n-1），把b_n=2代入，求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)，并進(jìn)一步求得數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式可求；
（2）把b_n=$\frac{n}{2}$代入S_n=b_n（a_n-1），利用兩次遞推式作差可得數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．

解答 （1）解：由$\overrightarrow{x}$=（1，b_n），$\overrightarrow{y}$=（a_n-1，S_n），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$，
得S_n=b_n（a_n-1），
∵b_n=2，∴S_n=2（a_n-1）．①
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2（a_n-1-1）．②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）證明：b_n=$\frac{n}{2}$，則${S}_{n}=\frac{n}{2}（{a}_{n}-1）$，即2S_n=na_n-n，③
∴a₁=-1，
2S_n+1=（n+1）a_n+1-（n+1），④
④-③得：（n-1）a_n+1-na_n-1=0，⑤
則na_n+2-（n+1）a_n+1-1=0，⑥
⑥-⑤得na_n+2-2na_n+1+na_n=0，
即a_n+2+a_n=2a_n+1．
又a₁=-1，a₂=0，
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)列遞推式，考查等差關(guān)系的確定，是中檔題．