Question

3．解答下列問題：
（1）已知點P（-4t，t）在角α的終邊上，且α∈（0，π），求$\frac{sinα（1-ta{n}^{2}α）}{\frac{1}{cosα}}$的值；
（2）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的a₃+a₅=30，且a₁a₇=81，求通項a_n．

Answer 1

分析 （1）由題意，t＞0，則sinα=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，cosα=-$\frac{4}{\sqrt{17}}$，tanα=-$\frac{1}{4}$，即可求$\frac{sinα（1-ta{n}^{2}α）}{\frac{1}{cosα}}$的值；
（2）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，由等比數(shù)列的性質(zhì)得a₁a₇=a₃a₅，結(jié)合條件求出a₃、a₅的值，由等比數(shù)列的通項公式求出q²、a₁，再分別求出a_n．

解答 解：（1）由題意，t＞0，則sinα=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，cosα=-$\frac{4}{\sqrt{17}}$，tanα=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{sinα（1-ta{n}^{2}α）}{\frac{1}{cosα}}$=$\frac{\frac{1}{\sqrt{17}}（1-\frac{1}{16}）}{-\frac{\sqrt{17}}{4}}$=-$\frac{15}{68}$；
（2）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，
由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a₁a₇=a₃a₅=81，
因為a₃+a₅=30，所以a₃、a₅是方程x²-30x+81=0的兩個根，
解得a₃=3、a₅=27或a₃=27、a₅=3，
所以q²=9或$\frac{1}{9}$，解得q=±3或±$\frac{1}{3}$，
由a₃=a₁q²=3得，a₁=$\frac{1}{3}$或27，
所以a_n=3^n-2或a_n=（-1）^n-1•3^n-2，或a_n=$\frac{1}{{3}^{n-4}}$或a_n=（-1）^n-1•$\frac{1}{{3}^{n-4}}$．

點評 本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)的應(yīng)用，以及分類討論思想，化簡、計算能力．