Question

已知P（2，0），對于拋物線y²=mx上任何一點Q，|PQ|≥2，則m的取值范圍是

1. A.
   （0，4]
2. B.
   （-∞，0）∪（0，4]
3. C.
   [4，+∞）
4. D.
   （-∞，0）∪[4，+∞）

Answer 1

D
分析：由題意可得：只需|PQ|_min≥2即可．再分當(dāng)m＜0時與當(dāng)m＞0時進行討論，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得當(dāng)m＜0時恒有|PQ|≥2成立，當(dāng)m＞0時，設(shè)Q（ ，t），由|PQ|≥2得t²-4m+m²≥0恒成立，即t²≥4m-m²恒成立，則有4m-m²≤0，進而得到答案．
解答：因為對于拋物線y²=mx上任何一點Q，|PQ|≥2，
所以只需|PQ|_min≥2即可．
當(dāng)m＜0時，拋物線y²=mx的開口方向向左，
所以此時|PQ|_min=|OP|=2，
所以m＜0時，對于拋物線y²=mx上任何一點Q，恒有|PQ|≥2成立．
當(dāng)m＞0時，拋物線y²=mx的開口方向向右，
設(shè)Q（ ，t），由|PQ|≥2得（ -2）²+t²≥4恒成立，整理可得：t²（t²-4m+m²）≥0恒成立，
即有t²-4m+m²≥0恒成立，
所以t²≥4m-m²恒成立，則有4m-m²≤0，解得：m≥4．
由以上可得：m的取值范圍是 （-∞，0）或者[4，+∞）．
故選D．
點評：解決成立問題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)，以及熟練掌握恒成立問題，本題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想與恒成立問題，此題屬于難題，是高考的考點．