Question

4．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又BA₁⊥AC₁，CC₁的中點為E．
（1）求三棱錐E-C₁AB的體積；
（2）求平面ABE與平面AA₁C₁C夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點F，則DF∥BC，以D為原點，DF、DC、DA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐E-C₁AB的體積．
（2）求出平面AA₁C₁C的一個法向量和平面ABE的一個法向量，利用向量法能求出平面ABE與平面AA₁C₁C夾角的余弦值．

解答 解：（1）如圖，取AB的中點F，則DF∥BC，
∵BC⊥AC，
∴DF⊥AC，
又A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，
∴A₁D⊥ABC，
以D為原點，DF、DC、DA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)A₁D=t，則A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A₁（0，0，t），C₁（0，2，t），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，3，t），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，-1，t），
由$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{B{A}_{1}}$=-3+t²=0，得t=$\sqrt{3}$，從而AD=1，AA₁=2，
∴四邊形AA₁C₁C為菱形，∠A₁AC=60°，設(shè)平面C₁AB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AB}$=（2，2，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=3y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），
E（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{5}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴點E到平面C₁AB的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵BC⊥平面C₁AB，
∴BC⊥CC₁，AB=BC₁=2$\sqrt{2}$，AC₁=2$\sqrt{3}$，
${S}_{△AB{C}_{1}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴三棱錐E-C₁AB的體積V=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{5}×\sqrt{15}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）平面AA₁C₁C的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面ABE的一個法向量為$\overrightarrow{p}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AE}=\frac{5}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AB}=2a+2b=0}\end{array}\right.$，
取a=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，-1，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
設(shè)平面ABE與平面AA₁C₁C夾角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{\frac{31}{3}}}$=$\frac{\sqrt{93}}{31}$．
∴平面ABE與平面AA₁C₁C夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{93}}{31}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．