Question

11．已知直線l：2x+y+m=0（m∈R），圓O：x²+y²=4．
（1）若直線l將圓O分成的兩端弧之比為1：3，求m的值；
（2）P是直線l上的任意一點，PA、PB是圓O的兩條切線，A，B是切點，若四邊形OAPB面積的最小值為2$\sqrt{5}$，求m的值；
（3）在（2）的條件下，以直線l上的點M為圓心所作的圓M與圓O有公共點，試求半徑取最小值時圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l將圓O分成的兩端弧之比為1：3，可得劣弧所對的圓心角為90°，即可求m的值；
（2）由“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”，即可求m的值；
（3）以M為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，即可求出半徑最小的圓的方程．

解答 解：（1）∵直線l將圓O分成的兩端弧之比為1：3，
∴劣弧所對的圓心角為90°，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m=±$\sqrt{10}$；
（2）根據(jù)題意，若四邊形面積最小，當圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線l的距離最小時，
切線長PA，PB最小．切線長為$\sqrt{5}$，圓心到直線l的距離為3，∴d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=3，
∴m=±3$\sqrt{5}$；
（3）以M為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心M為過原點且與l垂直的直線l′與l的交點P₀，所以r=3$\sqrt{5}$-2，
又l′：x-2y=0，聯(lián)立l：2x+y+m=0得P₀（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）或P₀（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）．
所以所求圓的方程為（x-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$）²+（y-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=（3$\sqrt{5}$-2）²或（x+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$）²+（y+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=（3$\sqrt{5}$-2）²．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．