Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3a+2}{2}$x²+6ax+b，其中a，b∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值-$\frac{1}{6}$，求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x²-（3a+2）x+6a，由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值-$\frac{1}{6}$，列出方程組，能求出a，b．
（2）由f′（x）=x²-3x+2，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3a+2}{2}$x²+6ax+b，其中a，b∈R，
∴f′（x）=x²-（3a+2）x+6a，
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值-$\frac{1}{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=\frac{1}{3}-\frac{3a+2}{2}+6a+b=-\frac{1}{6}}\\{{f}^{'}（1）=1-（3a+2）+6a=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{3}$，b=-1．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+2x-1，
∴f′（x）=x²-3x+2，
由f′（x）=x²-3x+2＞0，得x＞2或x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式、函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，是中檔題．