Question

2．函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在x=1處的切線l方程是x-2y+1=0，以直線l與y軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是x²=2y．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$求導(dǎo)可得其導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在x=1處的切線l方程的斜率k，再求得f（1）的值，即可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得其切線的方程，進(jìn)而可得直線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$=${x}^{\frac{1}{2}}$，有y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
則函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在x=1處的切線l方程的斜率k=$\frac{1}{2×\sqrt{1}}$=$\frac{1}{2}$，
又由函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$，則f（1）=1，即切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），
則有函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在x=1處的切線l方程：y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+1=0；
對(duì)于直線x-2y+1=0，其與y軸的交點(diǎn)為（0，$\frac{1}{2}$），
以（0，$\frac{1}{2}$）為焦點(diǎn)的拋物線中必有p=2×$\frac{1}{2}$=1，焦點(diǎn)在y軸上，
則其標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=2y；
故答案為：x-2y+1=0，x²=2y．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，涉及函數(shù)的切線的求法，關(guān)鍵是求出函數(shù)的切線的方程．