Question

已知f（x）=1n（x+1）-ax（a∈R）
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，求f（x）在定義域上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，f′(x)=

1

x+1

-a，由此利用分類討論思想能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在定義域上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=1n（x+1）-ax，
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，f′(x)=

1

x+1

-a，
當(dāng)a=0時，∵f′(x)=

1

x+1

＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）；
當(dāng)a＜0時，∵f′(x)=

1

x+1

-a＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）；
當(dāng)a＞0時，由f(x)′=

1

x+1

-a＞0，得x＜

1

a

-1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，

1-a

a

），
由f′（x）＜0，得x＞

1

a

-1，∴f（x）的減區(qū)間為（

1-a

a

，+∞）．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，
由（Ⅰ）知f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=0時，f（x）在定義域上取最大值f（0）=0．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．