Question

4．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，右頂點為A，上頂點為B．
（1）若2AB=$\sqrt{3}$F₁F₂，求橢圓的離心率；
（2）在（1）的條件下，設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓C過點F₁，經(jīng)過原點O的直線l與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得到關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合隱含條件即可求得橢圓的離心率；
（2）由（1）可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，設P（x₀，y₀），由題意得$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}B}=0$，再由P在橢圓上把P的坐標用含有c的代數(shù)式表示，求出圓心坐標，設出經(jīng)過原點O與圓C相切的直線l的方程，由點到直線的距離公式求得k，則直線方程可求．

解答 解：（1）由2AB=$\sqrt{3}$F₁F₂，得$2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{3}•2c$，∴a²+b²=3c²，
則a²+（a²-c²）=3c²，整理得a²=2c²，∴c=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，即e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由（1）知，a²=2c²，b²=c²，
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$．
設P（x₀，y₀），由題意得，$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}B}=0$，
又F₁（-c，0），B（0，c），∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}=（{x}_{0}+c，{y}_{0}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}=（c，c）$，
∴（x₀+c）c+y₀c=0，
又c＞0，∴x₀+y₀+c=0，①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{c}^{2}}=1$，②
由①②，得$3{{x}_{0}}^{2}+4c{x}_{0}=0$，得${x}_{0}=-\frac{4}{3}c$，則${y}_{0}=\frac{c}{3}$．
∴P（$-\frac{4}{3}c，\frac{c}{3}$），從而可得圓心C（$-\frac{2}{3}c，\frac{2}{3}c$），
∴半徑r=|CF₁|=$\sqrt{（-\frac{2}{3}c+c）^{2}+（\frac{2c}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}c$，
設直線l的方程為y=kx，則
d=$\frac{|-\frac{2}{3}c•k-\frac{2c}{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{3}c$，即k²-8k+1=0．
解得k=4$±\sqrt{15}$．
∴直線l的方程為y=（$4±\sqrt{15}$）x．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應用，考查計算能力，是中檔題．