Question

11．已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F₁的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，若△PQF₂是以∠PQF₂為頂角的等腰三角形，其中$∠PQ{F_2}∈[\frac{π}{3}，π）$，則雙曲線離心率e
的取值范圍為（　�。�

• A． $[\sqrt{7}，3）$
• B． $[1，\sqrt{7}）$
• C． $[\sqrt{5}，3）$
• D． $[\sqrt{5}，\sqrt{7}）$

Answer 1

分析 由題意設(shè)θ=$∠PQ{F_2}∈[\frac{π}{3}，π）$，可得∠F₁PF₂=$\frac{π+θ}{2}$，設(shè)|QP|=|QF₂|=x，則由雙曲線的定義可得|PF₁|=2a，即有|PF₂|=4a，在△PF₁F₂中，運(yùn)用余弦定理和誘導(dǎo)公式，以及離心率公式，解不等式即可得到e的范圍．

解答 解：△PQF₂是以∠PQF₂為頂角的等腰三角形，
其中設(shè)θ=$∠PQ{F_2}∈[\frac{π}{3}，π）$，
可得∠F₁PF₂=$\frac{π+θ}{2}$，
設(shè)|QP|=|QF₂|=x，
則由雙曲線的定義可得|QF₁|-|QF₂|=2a，即|PF₁|=2a，
即有|PF₂|=4a，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得，cos∠F₁PF₂=$\frac{4{a}^{2}+16{a}^{2}-4{c}^{2}}{2•2a•4a}$
=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$e²=-sin$\frac{θ}{2}$∈（-1，-$\frac{1}{2}$]，
解得$\sqrt{7}$≤e＜3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查余弦定理和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．