Question

已知A（2，l），B（3，2），若線段AB（不含端點(diǎn)A、B）與橢圓（m-1）x²+my²=1總有交點(diǎn)，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的方程求出m的范圍，寫出線段AB（不含端點(diǎn)A、B）的方程，與橢圓方程組成方程組，求出方程組有解時(shí)m的取值范圍，從而求出m的取值范圍．

解答： 解：∵橢圓（m-1）x²+my²=1，
∴

m-1＞0 m＞0

，
解得m＞1；
又∵線段AB（不含端點(diǎn)A、B）的方程為
x-y-1=0（2＜x＜3），
與橢圓（m-1）x²+my²=1有交點(diǎn)，
∴

x-y-1=0 (m-1)x2+my2=1

；
消去y，得（m-1）x²+m（x-1）²=1，
整理得（2m-1）x²-2mx+m-1=0，
設(shè)f（x）=（2m-1）x²-2mx+m-1，
當(dāng)m＞1時(shí)，二次函數(shù)f（x）的對稱軸為
x=-

-2m

2(2m-1)

=

m

2m-1

＜1，
∴f（x）在（2，3）上是增函數(shù)；
∴

f(2)＜0 f(3)＞0

，
即

5m-5＜0 13m-10＞0

，
解得

10

13

＜m＜1；
綜上，m的取值范圍是∅．
故答案為：∅．

點(diǎn)評：本題考查了直線與橢圓方程的方程的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)利用直線方程與橢圓方程組成方程組，利用根的存在性定理判斷解的情況，是難題．