Question

6．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2cos²A+$\sqrt{3}$sin2A=2，b=1，S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則A=$\frac{π}{3}$，$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=2．

Answer 1

分析 由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應用可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可求范圍：2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質可求A的值，利用三角形面積公式可求c的值，進而利用余弦定理可求a的值，根據(jù)比例的性質及正弦定理即可計算得解．

解答 解：∵2cos²A+$\sqrt{3}$sin2A=2，可得：cos2A+$\sqrt{3}$sin2A=1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，可得：2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，可得：A=$\frac{π}{3}$．
∵b=1，S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=2，
∴由余弦定理可得：a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
故答案為：$\frac{π}{3}$，2．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質，三角形面積公式，余弦定理，比例的性質及正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．