Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，△PAD是等邊三角形，且$PB=\sqrt{6}$，M是棱PC上除P、C的任意一點，且$\frac{PM}{PC}=λ$
（1）當$λ=\frac{1}{3}$時，求證：平面BDM⊥平面ABCD
（2）平面BDM將四棱錐分成兩部分，當$λ=\frac{1}{2}$，求兩部分體積之比．

Answer 1

分析 （1）取AD中點為O，連結(jié)PO、BO、連BD與OC交于Q點，由題意知PO⊥AD，且$PO=\sqrt{3}$，再由已知可得$BO=\sqrt{3}$，在△POB中，利用勾股定理可得PO⊥BO，由線面垂直的判斷得PO⊥平面ABCD，連結(jié)MQ，再由平行線截線段成比例定理可得，$λ=\frac{1}{3}$時，$\frac{OQ}{QC}=\frac{PM}{MC}$，從而得到PO∥MQ，再由面面垂直的判定得答案；
（2）當$λ=\frac{1}{2}$時，M是PC的中點，P到平面ABCD距離是M到平面BDC的距離的2倍，結(jié)合S_ABCD=2S_△BCD，可得
V_P-ABCD=4V_M-BDC，由此得到兩部分體積之比．

解答 （1）證明：設(shè)AD中點為O，連結(jié)PO、BO、連BD與OC交于Q點，則PO⊥AD，且$PO=\sqrt{3}$，
由已知，△ABD為等邊三角形，∴$BO=\sqrt{3}$，在△POB中，
∵$PO=BO=\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，
∴PO²+BO²=PB²，
∴PO⊥BO，則PO⊥平面ABCD，連結(jié)MQ，
∵OD∥BC，∴△BQC∽△OQD，則$\frac{OQ}{QC}=\frac{OD}{BC}=\frac{1}{2}$，
當$λ=\frac{1}{3}$時，$\frac{PM}{MC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OQ}{QC}=\frac{PM}{MC}$，則PO∥MQ，
∴MQ⊥平面ABCD，又MQ?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ABCD；
（2）解：當$λ=\frac{1}{2}$時，M是PC的中點，P到平面ABCD距離是M到平面BDC的距離的2倍，
又S_ABCD=2S_△BCD，∴V_P-ABCD=4V_M-BDC，
則平面BDM將四棱錐分成的上下兩部分體積為3：1．

點評 本題考查直線與平面平行的判斷，考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．