Question

如圖，A、B分別是射線OM，ON上的兩點(diǎn)，給出下列向量：
①

OA

+2

OB

；②

1

2

OA

+

1

3

OB

；③

3

4

OA

+

1

3

OB

；④

3

4

OA

+

1

5

OB

；⑤

3

4

OA

-

1

5

OB

這些向量中以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi)的是

 

．（填序號）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：令

OP

=α

OA

+β

OB

，則點(diǎn)P落在陰影區(qū)域內(nèi)，α，β滿足：α＞0，β＞0，且α+β≥1．據(jù)此即可判斷出．

解答： 解：令

OP

=α

OA

+β

OB

，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，過點(diǎn)P分別作PE∥OA，PF∥OB，分別交OB、OA于點(diǎn)E、F，
則

PF

OB

=

AF

OA

=

OA-OF

OA

=1-

OF

OA

，又

PE

OA

=

OF

OA

，∴

PF

OB

+

PE

OA

=1．
∴

OP

=

| PF |

| OB |

OB

+

| PE |

| OA |

OA

，∴α+β=

| PE |

| OA |

+

| PF |

| OB |

=1．
同理可得：當(dāng)點(diǎn)P落在陰影區(qū)域除了線段AB上時，α+β＞1．
因此當(dāng)點(diǎn)P落在陰影區(qū)域內(nèi)時：α，β滿足：α＞0，β＞0，且α+β≥1．
據(jù)此可知：只有①③滿足條件．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：本題考查了共面向量基本定理，考查了推理能力和作圖的能力，屬于難題．